Vetores

Lançamento horizontal

Para a esfera que cai em queda livre, o vetor velocidade tem direção vertical e varia em módulo de um valor constante. Já a segunda esfera tem um movimento mais complexo. Como a distância entre as posições vai aumentando, podemos deduzir que a velocidade vetorial está aumentando em módulo; como a trajetória não é uma linha reta, conclui-se que a direção da velocidade vetorial também está variando.

O experimento das moedas e a análise da figura 31 nos possibilitam concluir que o movimento vertical das duas esferas é o mesmo, porque ambas são aceleradas

verticalmente para baixo com a aceleração da gravidade. A diferença é que o vetor aceleração não está dirigido ao longo da trajetória para a esfera oumoeda lançada horizontalmente.

O vetor aceleração para as duas esferas é o mesmo, só que num caso é tangente à trajetória e no outro, não.

Tanto para a esfera como para a moeda, a velocidade horizontal de lançamento é constante, porque o movimento horizontal ocorre sem aceleração nessa direção.

Galileu estudou esses movimentos, e suas conclusões permitiram enunciar o princípio da independência dos movimentos.

Se um objeto tem um movimento composto, cada um deles se realiza como se o outro não existisse.

Com base nesse princípio, podemos afirmar que, num lançamento horizontal,

o movimento de queda livre não tem nenhuma influência sobre o deslocamento horizontal. No lançamento horizontal sem resistência do ar:

vx = v0 Þ constante e vy = a × t em que a é a aceleração da gravidade.

Podemos analisar o lançamento horizontal a uma c

erta altura, decompondo-o ao longo de um eixo horizontal e de outro vertical.

A componente horizontal da velocidade permanece constante ao longo do movimento e a vertical é nula no momento do lançamento e aumenta,

aproximadamente, 10 m/s a cada segundo. Somando vetorialmente essas duas componentes, obtemos o vetor velocidade em qualquer instante.

Como poderíamos descobrir o valor da altura H e do alcance horizontalA indicados na figura 34? Representamos também os vetores velo

cidade em alguns pontos da trajetória.

Aplicando o princípio da independência dos movimentos, podem

os analisar separadamente o movimento vertical e o horizontal. Dessa forma, a altura H corresponde ao deslocamento (d = H) de um objeto que cai em queda livre sem velocidade inicial (v0 = 0), isto é, um movimento retilíneo uniformemente variado, logo:

Na função (I), a é o valor da aceleração da gravidade do local e t é o tempo de queda.

O valor correspondente a A (alcance) é o deslocamento de um objeto que se movimenta ao longo do eixo horizontal, cujo módulo de velocidade é constante. Trata-se, portanto, de um movimento retilíneo uniforme (MRU). Podemos escrever então: d = v × t.

Como o deslocamento na horizontal é o alcance (d = A) e a componente da velocidade nessa direção é vx, temos:

A = vx × t (II)

Como o tempo que o objeto leva para descer ao solo é o mesmo que leva para se deslocar na horizontal, (t), que aparece nas funções (I) e (II), é o tempo de queda.

Movimento Circular

Grandezas Angulares

As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de movimentos circulares, devemos

introduzir novas grandezas, que são chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:

• deslocamento/espaço angular: φ (phi)
• velocidade angular: ω (ômega)
• aceleração angular: α (alpha)

Espaço Angula

r (φ)

Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura de ângulo φ

qualquer em relação ao ponto denominado origem.

E é calculado por:

Deslocamento angular (Δφ)

Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:

Sendo:

Por convenção:

No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.

No sentido horário o deslocamento angular é negativo.

Velocidade Angu

lar (ω)

Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:

Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s

Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.

Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:

Aceleração Angular (α)

Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimosacelera

ção angular média como:

Algumas relações importantes

Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:

mas se isolarmos S:

derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:

mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:

onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:

mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo é igual a aceleração angular, então:

Período e Frequência

Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua

unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)

Frequência(f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade angular.

Para converter rotações por segundo para rad/s:

sabendo que 1rotação = 2πrad,

Movimento Circular Uniforme

Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em

todos os pontos do percurso.

No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as pás de um ventilador girando.

Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sent

ido, logo e

xiste uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta.

Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:

Sabendo que

e que

, pode-se converter a função horária do espaço linear para o espaço angular:

então:

Cinemática circular

Circular uniforme movimento de objetos em movimento em círculo a uma velocidade constante. Magnitude da velocidade permanece constante, mas a direção é contínua, mudando.

Magnitude de v ₁ = Magnitude de v ₂

A velocidade instantan EOU é na direção da tangente à trajetória circular. À medida que a partícula de A a B durante / \ t / \ v é um vetor de final de v ₁ para o fim do v _2. / Pontos \ v para o centro.

Portanto, a aceleração é chamada de aceleração (centro seeking) centrípeta aceleração ou radial (ao longo do raio, em direção ao centro).

Os vetores v _1, v _2, e / \ v forma um triângulo semelhante ao triângulo ABC. Os ângulos, / \ , São iguais.

Se a velocidade é uniforme

2 r

v = ---------- onde t é o tempo para uma revolução

t

Um objeto que se move em um círculo de raio r com velocidade constante tem uma aceleração cuja direção é em direção ao Centro e cuja magnitude é

v ²

uma _c = -

r

A aceleração pontos de vetor em direção ao centro, mas os pontos vetor velocidade na direção do movimento, que é tangente ao círculo. Assim, os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si em cada ponto para o movimento circular uniforme.

Considerar três casos que examinamos

Queda de objectos aceleração e velocidade na mesma direção.

Projéteis aceleração de queda e velocidade em várias direções.

Movimento circular uniforme aceleração devido à gravidade perpendicular à velocidade.

Uma revolução = 2 r e Período = tempo para uma revolução completa.

Problemas

1. Allie, 55,0 kg, é amarrado a uma corda e gira uniformemente em um círculo horizontal de raio 3,50 m. Ela faz exatamente 4,00 rotações por segundo. qual é a aceleração centrípeta?

2. Órbita quase circular da lua em torno da Terra tem um raio de 384,000 km e um período de 27,3 dias. Qual é a aceleração da Lua em direção à terra?

3. Melissa, 50,0 kg, é amarrado a uma corda e gira uniformemente em um círculo horizontal de raio 5,00 m. Se a aceleração centrípeta é de 15,0 ms ^-2, o que é o período deste movimento? Quantas revoluções por minuto?

Respostas

Se há revolução 4,00 por segundo, leva 0,25 segundo para 1 revolução.

1. 2 r 2 3,50 m

v = --------- = ----------------- = 88,0 m / s t deve ser o período do objeto.

t 0,25 s

v ² (88,0 m / s) ²

uma _c = = ----- ----------------- = 2.210 ms ^-2 Esta é uma aceleração extremamente elevada e seria

r 3,50 m perigosos para sua saúde.

2. 24,0 horas 3,600 segundo

27,3 dias x ---------------- x -------------------- = 2,36 x 10 ⁶ segundo

1 dia 1 hora

384,000 km = 3,84 x 10 ⁸ m

2 r 2 3,84 x 10 ⁸ m

v = --------- = ------------------------- = 1020 m / s t deve ser o período do objeto .

t 2,36 x 10 ⁶ s

v ² (1020 m / s) ²

uma _c = ----- = ------------------- = 0,00271 ms ^-2

r 3,84 x 10 ⁸ m

3. v ²

uma _c = ----- => v = (a _c r) ^02/01 = (15,0 ms ^-2 x 5,00 m) ^{1 / 2} = 8,66 m / s Resolvido para v.

r

2 r 2 r 2 x 5,00 m

v = --------- => t = ------- = ------------------ = 3,63 s

t v 8,66 ms ^-1

1 rev 60 s

--------- --------- X = 16,5 rpm (rotações por minuto)

3,63 s 1 min

Alunos Números

Alessandro 01

Camila Pereira 04

Danielle dos Santos 07

Késsia Reges 18

Leandro Mendes 19

Marina Araújo 25